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第1章 上一章注释［001］
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g:Nn+2—N
使用f和g的原始递归h=pn(f，g):Nn+1—N
对于h:
基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)
递归条件: h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))
回到我们的加法器add：
add:N2→N
add(x，y)=x+y=p1(f，g)
基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11
递归条件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]
add=p1(proj11，succ·[proj33]）
完美无瑕。
类似地，乘法器mult=p1(zero，add·[proj13，proj33])
前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。
那么“偏函数”呢？
构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。
如果我们有一个函数f:N^n+1—N (这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。
那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出
比如f(5，4，3，2，1，0)=0
如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。
比如f(5，4，3，2，1，1)=1
假设我们有一个投影函数长这样：
proj21:N2—N (proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)
那么μ^1proj21:N—N
举个栗子：
假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj21(1)，其中1是固定参数。
如果我们穷举一下可变参数，就会发现：
proj21(1，0)=1
proj21(1，1)=1
我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。
加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。
假设，我们收到两参数a和b，想求a\/b，那么其中存在如下关系：
a=qxb+r，其中0≤r＜b
我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q，这等同于满足(q+1)xb＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：
找到最小的q使其满足(q+1)xb＞a
也就是构造一个函数f:N^3—N
f(a，b，q)=1如果(q+1)b≤a，=0如果(q+1)b＞a
f(a，b，q)=lessthanequal(mult(succ(q)，b)，a)
f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]
其中lessthanequal=iszero·sub
iszero=sub·[succ·zero，proj11]
sub是减法器
对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。
验证一下：
f(8，5，0)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=1不等于0，所以0不是输出。
f(8，5，1)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=0，最小，所以1是输出。
div(8，5)=8\/\/5=1没错，十分完美。
如果我们想计算一下8\/\/0:
f(8，0，0)=lessthanequal(mult(1，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。
f(8，0，1)=lessthanequal(mult(2，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。
无论我们给f(8，0，x)传入什么x，都找不到最小的x，所以div(8，0)=8\/\/0无解，符合现实。
如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。
好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。
至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。
——————————————————
下一章是正常内容
使用f和g的原始递归h=pn(f，g):Nn+1—N
对于h:
基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)
递归条件: h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))
回到我们的加法器add：
add:N2→N
add(x，y)=x+y=p1(f，g)
基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11
递归条件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]
add=p1(proj11，succ·[proj33]）
完美无瑕。
类似地，乘法器mult=p1(zero，add·[proj13，proj33])
前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。
那么“偏函数”呢？
构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。
如果我们有一个函数f:N^n+1—N (这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。
那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出
比如f(5，4，3，2，1，0)=0
如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。
比如f(5，4，3，2，1，1)=1
假设我们有一个投影函数长这样：
proj21:N2—N (proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)
那么μ^1proj21:N—N
举个栗子：
假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj21(1)，其中1是固定参数。
如果我们穷举一下可变参数，就会发现：
proj21(1，0)=1
proj21(1，1)=1
我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。
加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。
假设，我们收到两参数a和b，想求a\/b，那么其中存在如下关系：
a=qxb+r，其中0≤r＜b
我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q，这等同于满足(q+1)xb＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：
找到最小的q使其满足(q+1)xb＞a
也就是构造一个函数f:N^3—N
f(a，b，q)=1如果(q+1)b≤a，=0如果(q+1)b＞a
f(a，b，q)=lessthanequal(mult(succ(q)，b)，a)
f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]
其中lessthanequal=iszero·sub
iszero=sub·[succ·zero，proj11]
sub是减法器
对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。
验证一下：
f(8，5，0)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=1不等于0，所以0不是输出。
f(8，5，1)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=0，最小，所以1是输出。
div(8，5)=8\/\/5=1没错，十分完美。
如果我们想计算一下8\/\/0:
f(8，0，0)=lessthanequal(mult(1，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。
f(8，0，1)=lessthanequal(mult(2，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。
无论我们给f(8，0，x)传入什么x，都找不到最小的x，所以div(8，0)=8\/\/0无解，符合现实。
如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。
好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。
至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。
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